运算检验为数学运算护航以圆锥曲线单元复习课(2)

师：如果我们把“直线AB的斜率为k”改为“直线AB的倾斜角为α”，那么又会如何？

变式1设抛物线C：y2=2px(其中p>0)的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点A,B．若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=______．

生5：我刚刚做过，直线AB的方程为根据引例结论可得

师：当倾斜角α=90°时，结果又如何？直线AB存在吗？

生5：当α=90°时，k不存在，但直线AB还是存在的.

师：对！设直线的斜率为k，没有包含倾斜角为90°的直线，这样的解题方案有逻辑缺陷，我们把检验逻辑推理是否正确的检验称之为逻辑性检验.对于变式1，需要进行分类讨论：1)当α=90°时，|AB|=2p；2)当α≠90°时，因此，我们可以看出，当α=90°时，|AB|取到最小值2p，即我们平时常说的抛物线的焦点弦以通径最短.

师：这道题带给我们的思考是什么？树立检验意识很重要！我们不仅要看“对不对”，还要看“行不行”，即不仅要进行正确性检验，还要进行逻辑性检验.刚才我们已经整理了7种正确性检验的方法，其实做数学题的每个过程中的每一步都可以看成一个小结果，都需要保证其正确性，同学们对待平时的作业也应该如此.下面老师选取一位同学的作业题，请大家一起进行检验.

设计意图除了常用的7种正确性检验方法外，我们还要关注逻辑性检验，数学问题解答中的每一步都可以看成一个小结果，两者之间是否形成充要条件，需要检验.

图2

1.3 典例体验，深度接触

例1如图2，已知A,B是抛物线C：y2=2px(其中p>0)上的两个动点，|AB|=a(其中a为正常数)，求线段AB的中点M的轨迹方程．

(这是前几天笔者布置的一道作业题，借助OneNote展示一位学生的书写过程.)

解设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则

从而

于是

4p2a2=4p2|AB|2=4p2[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=

(y1-y2)2[(y1+y2)2+4p2]=

[4px-4(y2-px)](4y2+4p2)=

16(2px-y2)(y2+p2),

故4(2px-y2)(y2+p2)=p2a2.

设计意图要求学生掌握正确性检验方法的同时，也要求学生掌握逻辑性检验，让学生再次体验、理解、掌握正确性检验方法，对关键性结果即式(1)和式(2)进行多视角的正确性检验，如：量纲检验(左边怎样，右边怎样，是否一样)、对称检验(关于x轴对称)、趋势检验(如当y1→y2时，结果如何)、特例检验(特殊位置，与x轴垂直的直线)等.

1.4 难题练手，边做边检

例2如图3，已知抛物线x2=4y上的点A,B满足|AB|=a(其中a为正常数)．设线段AB的中点为M，求点M到x轴距离的最小值．

图3 图4

(让学生动手体验，教师巡视课堂，捕捉学生的答题状态，用OneNote无线同屏展示.)

生6：如图4，过点A,B,M分别作准线y=-1的垂线，垂足分别为点A′,B′,M′，则故

师：有没有要补充的？

生6：哦，等号取到的条件忘记了，当且仅当AB过焦点F时等号成立.

生7：当a→1时，我发现等号不成立,当a≥4时等号才成立.

生8：不妨先考虑中点M的轨迹，再求d的值.例1中的抛物线开口向右，例2中的抛物线开口向上，且例2中p=2，可在例1的基础上将x,y交换，得到点M的轨迹方程，即(4y-x2)(4+x2)=a2，则

令u=x2+4(其中u≥4)，从而

1)当a≥4时，

当时，等号成立，此时直线方程为

2)当0

因此，

(接着，师生互动讨论结果是否正确，结合前面所学方法多视角进行检验.)

检验1当a≥4时，(另解检验，预设检验).

检验2分界点a=4，AB为过点F的最短弦(预设检验).

检验3当a→4时，当a=4时，(趋势检验).

检验4当a→0时，(趋势检验).

设计意图这道题带给我们的启示是什么？在关注正确性检验的同时，也要关注逻辑性检验.只有把两者结合起来，才能保证过程的正确性，而这类试题往往会吓住学生前行的脚步，因此在例2的前面预设了一道例1，希望学生能进行类比，触类旁通.

1.5 机动配置，可内做外练

图5

例3如图5，已知过⊙C:x2+y2=4上的点作两条直线PA,PB，与圆分别交于点A,B(均不同于点P).若直线PA,PB的斜率之和为0，求直线AB的斜率.

解设直线PA的方程为与x2+y2=4联立，消去y得

文章来源：《临床检验杂志》 网址: http://www.lcjyzzzz.cn/qikandaodu/2021/0708/646.html